ПРЕДИСЛОВИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ И КОМБИНАТОРИКИ
1.1. Сведения из теории множеств
1.1.1. Натуральный ряд
1.1.2. Парадоксы теории множеств
1.2. Сведения из теории алгоритмов
1.2.1. Понятие алгоритма
1.2.2. Сведения из теории сложности
1.3. Свойства графа случайного отображения
Упражнения к главе 1
Литература к главе 1
Глава 2. ГРУППЫ
2.1. Понятие группы
2.2. Подгруппы
2.3. Гомоморфизмы и изоморфизмы
2.4. Действие группы на множестве
2.5. Группа подстановок
2.6. Вложимость коммутативной полугруппы в группу
2.7. Прямые произведения групп
2.8. Категории
Упражнения к главе 2
Литература к главе 2
Глава 3. КОЛЬЦА
3.1. Понятие кольца
3.2. Гомоморфизмы колец
3.3. Частные
3.4. Предварительные сведения о многочленах
3.5. Идеалы и классы вычетов
3.6. Делимость идеалов
3.7. Евклидовы кольца и кольца главных идеалов
3.8. Разложение на множители
3.9. Кольцо эндоморфизмов модуля
3.10. Свойства многочленов
3.11. Производная и кратные корни
3.12. Симметрические функции
3.13. Разложение на множители многочленов от нескольких переменных
3.14. Целые элементы в поле
3.15. Полукольца и решетки
Упражнения к главе 3
Литература к главе 3
Глава 4. ПОЛЯ
4.1. Общие сведения о полях. Простые поля
4.2. Расширения полей
4.2.1. Простые расширения
4.2.2. Конечные расширения
4.3. Конечные поля
4.3.1. Строение конечных полей
4.3.2. Автоморфизмы конечных полей
4.3.3. Норма и след в конечных полях
4.4. Поля деления круга
4.5. Дискретное преобразование Фурье
4.6. Нормирования
4.7. Пополнения поля QHpадические числа
Упражнения к главе 4
Литература к главе 4
Глава 5. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
5.1. Однозначное разложение на множители
5.2. Некоторые числовые функции
5.3. Сравнения
5.4. Квадратичные и кубические вычеты. Квадратичный закон взаимности
5.5. Суммы Гаусса и Якоби
5.6. Квадратичные формы и квадратичные числа
5.6.1. Целые квадратичные числа мнимых полей
5.6.2. Решетки и идеалы
5.6.3. Разложение на множители в кольцах целых квадратичных чисел
5.6.4. Композиция квадратичных форм
5.7. Алгебраические числа
Упражнения к главе 5
Литература к главе 5
Глава 6. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
6.1. Плоские алгебраические кривые
6.1.1. Плоские коники
6.1.2. Бесконечно удаленная прямая и асимптотические направления
6.1.3. Классификация коник
6.1.4. Сложение точек на конике
6.2. Кубические кривые. Закон сложения
6.3. Касательные и точки перегиба
6.4. Нормальные формы неособой кубической кривой
6.5. Особые кубические кривые
6.6. Невозможность рациональной параметризации эллиптической кривой
6.7. Дискриминант иу-инвариант
6.8. Закон сложения точек кубической кривой
6.9. Эллиптические функции и параметризация эллиптической кривой над полем комплексных чисел
6.9.1. Эллиптические функции
6.9.2. Функция Вейерштрасса
6.9.3. Параметризация эллиптической кривой над С
6.10. Эллиптические кривые над числовыми полями
6.11. Изоморфизмы и эндоморфизмы эллиптических кривых
6.11.1. Изоморфизмы над полями характеристики, отличной от 2 и 3
6.11.2. Изоморфизмы над полями характеристики 3
6.11.3. Изоморфизмы над полями характеристики 2
6.11.4. Бирациональный изоморфизм кривых
6.11.5. Эндоморфизмы эллиптических кривых
6.11.6. Изоморфизмы эллиптических кривых в форме Лежалдра
6.12. Алгебраические кривые и их отображения
6.12.1. Аффинные алгебраические кривые
6.12.2. Регулярные функции и отображения
6.12.3. Рациональные функции на алгебраических кривых
6.12.4. Проективные кривые
6.13. Дивизоры на алгебраических кривых
6.13.1. Локальное кольцо точки и нормирование
6.13.2. Дивизоры
6.13.3. Спаривание Вейля
6.14. Эллиптические кривые над конечными полями
6.15. Гиперэллиптические кривые
Упражнения к главе 6
Литература к главе 6
Глава 7. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ АЛГЕБРЫ И ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
7.1. Алгоритмы умножения
7.1.1. Алгоритм умножения Карацубы - Офмана
7.1.2. Умножение в классах вычетов
7.1.3. Умножение с помощью быстрого преобразования Фурье
7.1.4. Модульное умножение. Метод Монтгомери
7.1.5. Целочисленное деление с остатком
7.2. Алгоритмы обращения и нахождения наибольшего общего делителя
7.3. Задача о встрече на графе случайного отображения
7.4. Алгоритм Шэнкса (giant step -baby step
7.5. Минимизация базиса решетки
7.6. Разложение над конечным полем многочленов от одной переменной
7.7. Извлечение квадратных и кубических корней в конечном поле
7.7.1. Извлечение квадратного корня в случае q = 3 (mod 4)
7.7.2. Извлечение квадратного корня в случае q = 5 (mod 8), q = 9 (mod 16)
7.7.3. Извлечение квадратного корня в общем случае для нечетного q
7.7.4. Извлечение квадратного корня в случае четного q
7.7.5. Решение квадратного уравнения
7.7.6. Извлечение кубического корня в конечном поле
7.8. Вычисление символа Якоби
7.9. Проверка чисел и многочленов на простоту
7.10. Разложение чисел в кольце l^j-D]
7.11. Приведение числа по модулю решетки
7.12. Сложение точек эллиптической кривой
7.13. Разложение целого рационального числа
с использованием эллиптической кривой
7.14. Вычисление функции Вейля
7.15. Сложение элементов якобиана гиперэллиптической кривой
Упражнения к главе 7
Литература к главе 7

НАЗАД